Teiler und Vielfache

M6 ArithmetikTheorie · 14 Blätter

Merke

Teiler nennt man jene natürlichen Zahlen, die in einer anderen natürlichen Zahl enthalten sind.

Bei der Division einer natürlichen Zahl durch einen ihrer Teiler muss der Rest 0 betragen!

Teiler von 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12

Die Zahl 12 ist durch 4 teilbar – 4 ist Teiler von 12: 4 | 12 (der Strich bedeutet „… ist Teiler von …“)

5 ist kein Teiler von 12: 5 ∤ 12 (der durchgestrichene Strich bedeutet „… ist kein Teiler von …“)

Merke

Primzahlen sind natürliche Zahlen (> 1), die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind.

Die Primzahlen bis 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Merke

Natürliche Zahlen (> 1), die keine Primzahlen sind, können als Produkt ihrer Primfaktoren angeschrieben werden!

Dividiere die Zahl so oft durch die kleinstmögliche Primzahl, bis als Ergebnis die Zahl 1 herauskommt:

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 – Darstellung einer Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren.

Eine Zahl ist teilbar durch …	wenn …
2	an der Einerstelle 0, 2, 4, 6 oder 8 steht.
5	an der Einerstelle 0 oder 5 steht.
10	an der Einerstelle 0 steht.
100	an der Einerstelle und an der Zehnerstelle 0 stehen.
25	an der Einer- und Zehnerstelle 0 stehen oder die aus E und Z gebildete Zahl durch 25 teilbar ist.
4	an der Einer- und Zehnerstelle 0 stehen oder die aus E und Z gebildete Zahl durch 4 teilbar ist.
3	ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist.
9	ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist.

Bilden einer Ziffernsumme: Man addiert alle Ziffern der Zahl.

Beispiel: Zahl 2 358 – Ziffernsumme 2 + 3 + 5 + 8 = 18. 18 ist durch 3 teilbar (3 | 18), daraus folgt: 3 | 2 358.

Gemeinsame Teiler sind jene natürlichen Zahlen, die in den gegebenen Zahlen enthalten sind.

Merke

Der größte gemeinsame Teiler ist jene größte natürliche Zahl, die in den gegebenen Zahlen (ohne Rest) enthalten ist: ggT_{(16, 20)} = 4

Gemeinsame Vielfache sind jene natürlichen Zahlen, in denen die gegebenen Zahlen enthalten sind.

Merke

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist jene kleinste natürliche Zahl, in der die gegebenen Zahlen enthalten sind: kgV_{(2, 5)} = 10