Funktionen

M8 ArithmetikTheorie · 15 Blätter

Funktionen sind eindeutige Zuordnungen

Die Temperatur an einem bestimmten Ort ist zeitlich veränderlich. Zu jedem Zeitpunkt x herrscht eine bestimmte Temperatur y:

Uhrzeit (x)	8:00	12:00	16:00	20:00
Temperatur (y)	20 °C	30 °C	35 °C	25 °C

Eine solche Tabelle nennt man eine Wertetabelle. Die Wertepaare (x|y) kann man in einem Koordinatensystem durch Punkte darstellen.

Hinweis: Um eine bessere Übersicht zu erhalten, kann man die Punkte auch durch eine „glatte“ Kurve verbinden.

Merke

Funktionen sind eindeutige Zuordnungen. Jedem Wert x wird genau ein Wert y zugeordnet.

Lineare Funktionen y = k · x

Merke

y = k · x (mit k ∈ ℝ, k ≠ 0)

Beispiel: y = 2x

x	−2	−1	0	1	2
y	−4	−2	0	2	4

Nimmt x um 1 zu, so nimmt y um 2 zu.

Merke

Der Graf einer Funktion der Form y = k · x ist eine Gerade durch den Ursprung des Koordinatensystems.

Zwei Punkte legen eine Gerade fest. Es genügt daher, einen einzigen Punkt zu ermitteln – der zweite Punkt ist der Ursprung des Koordinatensystems.

Die Steigung k

Merke

Der Wert von k wird als Steigung der Geraden bezeichnet.

k > 0	k < 0
y = 0,5x ⟹ k = 0,5	y = −0,5x ⟹ k = −0,5
y = 2x ⟹ k = 2	y = −2x ⟹ k = −2
y = 4x ⟹ k = 4	y = −4x ⟹ k = −4

Ist der Wert von k positiv (k > 0), dann ist die Gerade steigend (von links nach rechts).
Ist der Wert von k negativ (k < 0), dann ist die Gerade fallend (von links nach rechts).

Je größer der Betrag von k, desto steiler ist die Gerade.

Lineare Funktionen y = k · x + d

Merke

y = k · x + d (mit k, d ∈ ℝ; k ≠ 0; d ≠ 0)

Beispiel: 1) y = 0,5x und 2) y = 0,5x + 2

x	0	1	2	4
y bei 1)	0	0,5	1	2
y bei 2)	0 + 2 = 2	0,5 + 2 = 2,5	1 + 2 = 3	4 + 2 = 6

Merke

Der Graf einer Funktion der Form y = kx + d entsteht aus dem Grafen der Funktion y = kx, bei dem jeder Punkt der Geraden um den Wert d verschoben wird – bei positivem d nach „oben“, bei negativem d nach „unten“.