Ähnlichkeit

Strahlensatz

Zwei Strahlen gehen vom gemeinsamen Punkt Z (Zentrum) aus. Sie werden von zwei parallelen Geraden geschnitten: AC ∥ BD (A und B liegen auf dem einen Strahl, C und D auf dem anderen).

Grafische Lösung einer Proportion

Mit Hilfe des 1. Teils des Strahlensatzes lässt sich eine Proportion x : h = w : k auch zeichnerisch lösen.

Beispiel: Gegeben: h = 5 cm; k = 10 cm; w = 6 cm. Gesucht: x

Rechnerisch:

x : h = w : k

x · k = w · h

x · 10 = 6 · 5

x · 10 = 30 | : 10

x = 3 – also x = 3 cm

Konstruktionsgang:

1. Zeichne die Streckenlänge k und deren Teilstreckenlänge w vom Zentrum Z aus!
2. Zeichne auf einem Hilfsstrahl, ausgehend von Z, die Länge der Strecke h!
3. Verbinde den Endpunkt der Strecke h mit dem Endpunkt der Strecke k!
4. Verschiebe diese Verbindung parallel zum Endpunkt der Strecke w! Die gesuchte Streckenlänge x ist die Verbindung des eben gewonnenen Schnittpunkts zum Punkt Z.

Teilen einer Strecke

Auch das Teilen einer Strecke ist eine Anwendung des 1. Teils des Strahlensatzes.

Beispiel: Teile die Strecke AB so, dass AS : AB = 3 : 5 gilt (dann ist AS : SB = 3 : 2).

Konstruktionsgang:

1. Zeichne die Strecke AB! Trag auf einem Hilfsstrahl, ausgehend vom Punkt A, mit Hilfe eines Zirkels fünf gleich lange Teile auf (P₁ bis P₅)!
2. Verbinde den Punkt P₅ mit dem Punkt B und zeichne durch den Punkt P₃ eine Parallele zur Strecke P₅B!

Der Schnittpunkt S dieser Parallelen mit der Strecke AB teilt die Strecke im gewünschten Verhältnis.

Verkleinern und Vergrößern

Verkleinern: Verkleinere die Strecke AB im Verhältnis 3 : 2.

Trage auf einem Hilfsstrahl von A aus 3 gleich lange Teile auf. Verbinde Teilpunkt 3 mit B und zeichne durch Teilpunkt 2 die Parallele. Sie schneidet AB im Punkt B₁ (A = A₁):

AB : A₁B₁ = 3 : 2

Vergrößern: Vergrößere die Strecke AB im Verhältnis 4 : 5.

Trage auf einem Hilfsstrahl von A aus 5 gleich lange Teile auf. Verbinde Teilpunkt 4 mit B und zeichne durch Teilpunkt 5 die Parallele. Sie schneidet die Verlängerung von AB im Punkt B₁ (A = A₁):

AB : A₁B₁ = 4 : 5