Potenzen

Potenz

• a … Basis (Grundzahl)
• 3 … Exponent (Hochzahl)
• a³ … Potenz, gelesen „a hoch 3“

Der Exponent gibt an, wie oft die Basis als Faktor angeschrieben werden muss.

Beispiel: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 – „Zwei hoch drei (oder zwei zur Dritten) ist gleich 8.“ Dabei ist 2³ die Potenz und 8 der Potenzwert.

• Flächeninhalt eines Quadrats: A = a · a = a²
• Volumen eines Würfels: V = a · a · a = a³

Hinweis: Flächenmaße: m² = m · m – die Hochzahl 2 bedeutet zweidimensional. Raummaße: m³ = m · m · m – die Hochzahl 3 bedeutet dreidimensional.

Rechnen mit Potenzen

Für das Rechnen mit Potenzen gilt:

Potenzieren eines Produkts

Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert.

Beispiel: (2 · 3)² = 2² · 3² = 4 · 9 = 36

Potenzieren eines Bruchs

Ein Bruch wird potenziert, indem man den Zähler und den Nenner potenziert.

Beispiel: (34)² = 3²4² = 916

Unterscheide!

• 2a³ = a³ + a³ – zwei Würfel mit der Kantenlänge a
• (2a)³ = 2³ · a³ = 8a³ – ein Würfel mit der Kantenlänge 2a, in den 8 kleine Würfel passen

Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis

Beispiele:

• a³ · a² = a³⁺² = a⁵
• (−2a⁹) · (5a³) = (−2) · 5 · a⁹⁺³ = −10a¹²

Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis

Beispiele:

• a³ : a² = a³⁻² = a¹ = a
• (−8a⁹) : (4a³) = −2a⁹⁻³ = −2a⁶

Darstellen von großen Zahlen

Große Zahlen können mit Hilfe von 10er-Potenzen (Basis 10) dargestellt werden: 10ⁿ mit n ∈ ℕ*

Beispiel: 8 · 10⁶ = 8 000 000 – 8 ist die Vorzahl, 10⁶ die Zehnerpotenz.

Gleitkommadarstellung

Darstellen von Ergebnissen, z. B. bei Taschenrechnern:

465 000 = 4,65 · 100 000 = 4,65 · 10⁵

Achtung: Vorrang!

1. Klammerrechnungen
2. Potenzieren
3. Punktrechnung
4. Strichrechnung

Beispiel:

2 + 3 · (7 − 5)² =

= 2 + 3 · 2² = (Klammer)

= 2 + 3 · 4 = (Potenz)

= 2 + 12 = (Punktrechnung)

= 14 (Strichrechnung)

Binomische Formeln

1. Binomische Formel

(a + b)² = (a + b) · (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Am Quadrat mit der Seitenlänge a + b sieht man: Es besteht aus dem Quadrat a², dem Quadrat b² und zwei Rechtecken ab.

2. Binomische Formel

(a − b)² = (a − b) · (a − b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b²

3. Binomische Formel

(a + b) · (a − b) = a² + ab − ab − b² = a² − b²

Herausheben gemeinsamer Faktoren

Der gemeinsame Faktor kann vor oder nach der Klammer stehen: a · c + b · c = (a + b) · c