Vierecke – Vielecke

Flächeninhalt des allgemeinen Vierecks

Die Diagonale e zerlegt das allgemeine Viereck ABCD in zwei Dreiecke. h₁ und h₂ sind die Höhen dieser Dreiecke auf die Diagonale e.

A = e · h₁2 + e · h₂2

Flächeninhalt des allgemeinen Vielecks

Beispiel: Ein allgemeines Sechseck ABCDEF wird durch die Diagonalen von F aus in 4 Dreiecke zerlegt: A = A₁ + A₂ + A₃ + A₄

Zweite Möglichkeit: Man zeichnet eine Diagonale ein und dazu die Normalen auf diese Diagonale von den übrigen Eckpunkten aus. So wird das Vieleck in Dreiecke und Trapeze zerlegt.

Flächeninhalt des Parallelogramms

Schneidet man ein Dreieck an einer Seite ab und setzt es auf der anderen Seite wieder an, entsteht ein Rechteck mit gleichem Flächeninhalt.

Flächeninhalt des Quadrats

Das Quadrat ist auch eine Raute – sein Flächeninhalt lässt sich daher auch aus der Diagonale d berechnen. Die beiden Diagonalen sind gleich lang und stehen normal aufeinander.

A = a · a = a²

Flächeninhalt der Raute

Aus den Diagonalen e und f (sie stehen normal aufeinander):

Man kann die Raute nämlich zu einem Rechteck mit den Seiten e2 und f (bzw. e und f2) umlegen: A = e2 · f = e · f2

Vierecke mit aufeinander normal stehenden Diagonalen

Bei allen Vierecken, deren Diagonalen aufeinander normal stehen (Quadrat, Raute, Deltoid), gilt:

Flächeninhalt des Trapezes

Legt man zwei gleiche Trapeze zusammen (eines davon verdreht), entsteht ein Parallelogramm mit der Grundseite a + c und der Höhe h:

A_{Parallelogramm} = (a + c) · h ⟹ A_Trapez = 12 · (a + c) · h

Flächeninhalt = Summe der Längen der Parallelseiten mal Höhe2