Gleichungen

M8 ArithmetikTheorie · 9 Blätter

Lösbare Gleichungen

Fall	Beispiel	Bedeutung
Eine Lösung	x3 + 5 = 3	Eine bestimmte Zahl ist Lösung der Gleichung (hier x = −6).
Allgemein gültig	a2 + 2 = 2 + a2	Jede Zahl ist Lösung der Gleichung.

Nicht lösbare Gleichungen

Fall	Beispiel	Bedeutung
Widersprüchlich	b3 − 5 = b3	Die gegebene Gleichung führt auf einen Widerspruch (−5 = 0) und hat somit keine Lösung.

Beispiel: Das Dreifache einer Zahl addiert mit der um 5 verminderten Zahl ergibt 23. Berechne die Zahl!

Merke

Eine Tabelle hilft bei der Umsetzung des Textes in eine mathematische Kurzschreibweise!

Textnotiz	Zahl	Probe
Gesuchte Zahl	x	7
Das Dreifache der gesuchten Zahl	3x	7 · 3 = 21
Die um 5 verminderte Zahl	x − 5	7 − 5 = 2
Summe	23	23

3x + (x − 5) = 23

3x + x − 5 = 23

4x − 5 = 23 | + 5

4x = 28 | : 4

x = 7

Merke

Überprüfe durch Einsetzen in den Text, ob die Gleichung im Ansatz richtig war und richtig gelöst wurde! (= Probe)

Merke

Bei Bruchgleichungen werden zunächst beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner multipliziert.

Beispiel 1 (kleinster gemeinsamer Nenner: 4):

2 − x + 34 = x2 − 1 | · 4

8 − (x + 3) = 2x − 4

8 − x − 3 = 2x − 4

5 − x = 2x − 4 | − 2x

5 − 3x = −4 | − 5

−3x = −9 | : (−3)

x = 3

Probe: Linke Seite: 2 − 3 + 34 = 84 − 64 = 24 = 12; rechte Seite: 32 − 1 = 3 − 22 = 12 ✓

Ermittle den kleinsten gemeinsamen Nenner!
Der kleinste gemeinsame Nenner darf nicht den Wert null annehmen!
Zahlen, bei denen der kleinste gemeinsame Nenner den Wert null annimmt, sind nicht Lösungen der Gleichung!

Beispiel 2: 52a + 2 = 2a − 3

Kleinster gemeinsamer Nenner: (2a + 2)(a − 3)

Bedingung: a − 3 ≠ 0, also a ≠ 3; 2a + 2 ≠ 0, also 2a ≠ −2 und a ≠ −1

52a + 2 = 2a − 3 | · (2a + 2)(a − 3)

5(a − 3) = 2(2a + 2)

5a − 15 = 4a + 4 | − 4a

a − 15 = 4 | + 15

a = 19

Probe: Linke Seite: 52 · 19 + 2 = 538 + 2 = 540 = 18; rechte Seite: 219 − 3 = 216 = 18 ✓