Gleichungssysteme

M8 ArithmetikTheorie · 8 Blätter

Gleichungssysteme zweier linearer Gleichungen mit zwei Variablen

Zwei Gleichungen (I und II) mit den Variablen x und y bilden ein Gleichungssystem. Gesucht sind jene Zahlen x und y, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Das Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren)

I: 2x = y + 1

II: y = x + 1

II in I einsetzen (statt y schreibt man x + 1):

2x = x + 1 + 1

2x = x + 2 | − x

x = 2

In II:

y = x + 1

y = 2 + 1

y = 3

Merke

Lösung: x = 2 und y = 3

Additionsverfahren

I: x − y = −6 | · (−2)

II: 3x − 2y = 12

Gleichung I wird so multipliziert, dass beim Addieren eine Variable wegfällt:

−2x + 2y = 12

+ (3x − 2y = 12)

x − 0 = 24

x = 24

In I:

x − y = −6

24 − y = −6 | − 24

−y = −30 | · (−1)

y = 30

Merke

Lösung: x = 24 und y = 30

Grafische Lösung

I: y = x + 1

II: y = 2x − 1

Wertetabellen:

x (I)	y (I)	x (II)	y (II)
−3	−2	−2	−5
0	1	0	−1
2	3	2	3

Zeichnet man beide Geraden in ein Koordinatensystem, schneiden sie einander im Punkt S(2|3).

Merke

Lösung: x = 2 und y = 3 – der Schnittpunkt S(2|3). Die beiden linearen Gleichungen sind eindeutig lösbar. Grafische Veranschaulichung: Die beiden Geraden schneiden einander.