Satz von Pythagoras
Höhensatz
Im rechtwinkligen Dreieck ABC (rechter Winkel bei C) gilt:
- Die Höhe auf die Hypotenuse teilt das rechtwinklige Dreieck ABC in zwei rechtwinklige Teildreiecke.
- Die Hypotenuse wird so in die beiden Hypotenusenabschnitte p und q geteilt: p + q = c
- α und α1 sowie β und β1 sind jeweils gleich große Normalwinkel. Daher sind die Dreiecke ADC und CDB ähnlich: △ADC ∼ △CDB
Höhensatz: Das Quadrat über der Höhe ist flächengleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten: h2 = p · q
Kathetensatz
p ist der Hypotenusenabschnitt bei der Kathete a, q jener bei der Kathete b.
Kathetensatz: Das Quadrat über einer Kathete ist flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt: a2 = c · p; b2 = c · q
Vom Kathetensatz zum pythagoräischen Lehrsatz
a2 + b2 = c · q + c · p =
= c · (q + p) =
= c · c (denn q + p = c)
a2 + b2 = c2 … Pythagoräischer Lehrsatz
Anwendung: Quader
Raumdiagonale d: d2 = d12 + h2, also
d2 = a2 + b2 + h2
Flächendiagonalen d1, d2, d3:
d12 = a2 + b2; d22 = b2 + h2; d32 = a2 + h2
Anwendung: quadratische Pyramide und Kegel
In Pyramide und Kegel findet man rechtwinklige Dreiecke, mit denen fehlende Längen berechnet werden.
| Gegeben | Gesucht | Rechtwinkliges Dreieck aus … | Formel |
|---|---|---|---|
| a, h | ha | h, a2 und ha | ha = √h2 + (a2)2 |
| a, ha | s | ha, a2 und s | s = √ha2 + (a2)2 |
| a, s | h | h, d2 und s (mit d = a · √2) | h = √s2 − (d2)2 |
| Kegel: s, r | h | h, r und s | h = √s2 − r2 |
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