Bruchrechnen

M6 ArithmetikTheorie · 22 Blätter

Erweitern

Merke

Erweitern heißt: Zähler (Z) und Nenner (N) mit derselben Zahl multiplizieren: ZN = Z · kN · k (mit k, N ≠ 0)

Beispiel: 12 = 1 · 42 · 4 = 48

Kürzen

Merke

Kürzen heißt: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren: ZN = Z : kN : k (mit k ≠ 0)

Beispiel: 48 = 4 : 48 : 4 = 12

Der Wert des Bruchs ändert sich beim Erweitern und Kürzen nicht.

Addition von Brüchen

Gleichnamige Brüche (gleiche Nenner):

Merke

Die Zähler werden addiert, der Nenner bleibt unverändert.

12 + 32 + 12 = 52 = 212

Ungleichnamige Brüche (verschiedene Nenner) – wie?

Durch Erweitern der einzelnen Brüche auf den (kleinsten) gemeinsamen Nenner.
Der kleinste gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der vorkommenden Nenner.

12 + 34 = 24 + 34 = 54 = 114

Subtraktion von Brüchen

Gleichnamige Brüche:

Merke

Die Zähler werden subtrahiert, der Nenner bleibt unverändert.

32 − 12 = 22 = 1

Ungleichnamige Brüche: zuerst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner erweitern.

32 − 23 = 96 − 46 = 56

Multiplikation

Bruch mal (natürliche) Zahl (G):

Merke

ZN · G = Z · GN – Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert und den Nenner unverändert lässt.

34 · 2 = 3 · 24 = 64 = 32 = 112

Bruch mal Bruch:

Merke

Z₁N₁ · Z₂N₂ = Z₁ · Z₂N₁ · N₂ – Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

45 · 23 = 4 · 25 · 3 = 815

Division

Bruch durch (natürliche) Zahl – zwei Möglichkeiten:

Merke

Im Zähler: ZN : G = Z : GN – man dividiert den Zähler durch die Zahl und lässt den Nenner unverändert.

34 : 3 = 3 : 34 = 14

Merke

Im Nenner: ZN : G = ZN · G – man multipliziert den Nenner mit der Zahl und lässt den Zähler unverändert.

34 : 3 = 34 · 3 = 312 = 14

Kehrwert (Reziprokwert) eines Bruchs: Vertauschen von Zähler und Nenner – ZN hat den Kehrwert NZ.

Der Kehrwert von 25 ist 52. Der Kehrwert von 5 ist 15.

Zahl durch Bruch:

Merke

Zahl : Bruch = Zahl mal Kehrwert des Bruchs: G : ZN = G · NZ = G · NZ

2 : 34 = 2 · 43 = 2 · 43 = 83 = 223

Bruch durch Bruch:

Merke

Bruch : Bruch = Bruch mal Kehrwert des zweiten Bruchs: Z₁N₁ : Z₂N₂ = Z₁ · N₂N₁ · Z₂

25 : 37 = 2 · 75 · 3 = 1415

Bruch → Dezimalzahl

Merke

Der Bruchstrich hat die Bedeutung eines Divisionszeichens: Zähler dividiert durch Nenner.

14 = 1 : 4 = 0,25

Endliche Dezimalzahl: 35 = 610 = 0,6
Rein periodische Dezimalzahl: 13 = 1 : 3 = 0,333… = 0,3 – „null Komma drei periodisch“. Diese Dezimalstelle kommt immer wieder!
Gemischt periodische Dezimalzahl: 215 = 2 : 15 = 0,133… = 0,13 – „null Komma eins, Periode drei“; 111 = 1 : 11 = 0,0909… = 0,09 – „null Komma, Periode null neun“.