Winkel

M6 GeometrieTheorie · 25 Blätter

Bezeichnungen

Winkel bezeichnet man mit griechischen Buchstaben:

α	β	γ	δ	ε	μ	π	ρ	ω
Alpha	Beta	Gamma	Delta	Epsilon	My	Pi	Rho	Omega

Winkelmaße

Winkel misst man in Grad (°).

Merke

1 Grad (1°) = 60 Minuten (60′); 1 Minute (1′) = 60 Sekunden (60″); 1 Grad (1°) = 3 600 Sekunden (3 600″)

Winkelarten

Winkel	Größe
spitzer Winkel	0° < α < 90°
rechter Winkel	α = 90°
stumpfer Winkel	90° < α < 180°
gestreckter Winkel	α = 180°
erhabener Winkel	180° < α < 360°
voller Winkel	α = 360°

Messen und Zeichnen

Messen: Den Nullpunkt des Geodreiecks auf den Scheitel S legen, die Kante auf den Schenkel a – dann am Schenkel b ablesen, z. B. 56° (ein spitzer Winkel).
Zeichnen: Schenkel a zeichnen, Geodreieck mit dem Nullpunkt auf S anlegen, bei 56° eine Markierung setzen und den Schenkel b durch S und die Markierung zeichnen.

Merke

Achtung, zwei Messskalen! Beginne bei 0°!

Winkel übertragen

Einen gegebenen Winkel kann man ohne Winkelmesser mit dem Zirkel übertragen (r … Radius):

Um den Scheitel des gegebenen Winkels einen Kreisbogen mit Radius r schlagen – er schneidet beide Schenkel.
Die Sehne s_α zwischen diesen Schnittpunkten abgreifen (die Sehne des von den beiden Schenkeln eingeschlossenen Winkels α).
Am neuen Scheitel S denselben Kreisbogen schlagen und die Sehne s_α darauf abtragen – der zweite Schenkel geht durch diesen Punkt.

So kann man Winkel auch addieren (α + β: die Sehnen s_α und s_β hintereinander abtragen) und subtrahieren (α − β: s_β innerhalb von α zurück abtragen).

Winkelsymmetrale (Winkelhalbierende)

Merke

Die Winkelsymmetrale (w) halbiert den gegebenen Winkel α in zwei gleich große Winkel α2.

Jeder Punkt (P) der Winkelsymmetrale hat von den Winkelschenkeln den gleichen Abstand (d).

Konstruktion mit dem Zirkel: Um S einen Kreisbogen schlagen, der beide Schenkel schneidet; um diese beiden Schnittpunkte je einen Kreisbogen mit gleichem Radius – deren Schnittpunkt liegt auf der Winkelsymmetrale.

Konstruktionen ohne Winkelmesser

Mit Zirkel und Lineal lassen sich viele Winkel konstruieren:

60° (gleichseitiges Dreieck) → 30° (Winkelsymmetrale von 60°) → 15° (Winkelsymmetrale von 30°)
90° (Normale) → 45° (Winkelsymmetrale von 90°)
180° (gestreckter Winkel)

Daraus durch Addieren und Subtrahieren:

Winkel	Konstruktion
75°	60° + 15°
105°	90° + 15° oder 2 · 60° − 15°
120°	2 · 60°
135°	90° + 45° oder 180° − 45° oder 2 · 60° + 15°
150°	180° − 30° oder 90° + 60°

Winkelpaare

Scheitelwinkel haben einen gemeinsamen Scheitel (S). Ihre Schenkel liegen auf zwei sich schneidenden Geraden.

Merke

Scheitelwinkel sind gleich groß: α = α₁

Nebenwinkel liegen nebeneinander und haben einen gemeinsamen Schenkel; die beiden anderen Schenkel bilden eine Gerade.

Merke

Nebenwinkel sind supplementär – sie ergänzen einander auf 180°: α + β = 180°

Parallelwinkel (die Schenkel sind paarweise parallel) und Normalwinkel (die Schenkel stehen paarweise normal aufeinander) sind entweder gleich groß oder supplementär.

Winkel, Blatt 1: Bezeichnungen - Maße — Blatt 1 von 25 Theorie Bezeichnungen - Maße Groß Original

Winkel, Blatt 2: Ü-G6 Teile des Winkels — Blatt 2 von 25 Übung Ü-G6 Teile des Winkels Groß Original

Winkel, Blatt 3: Arten — Blatt 3 von 25 Theorie Arten Groß Original

Winkel, Blatt 4: Arten — Blatt 4 von 25 Theorie Arten Groß Original

Winkel, Blatt 5: Ü-G7 Grad, Minuten, Sekunden — Blatt 5 von 25 Übung Ü-G7 Grad, Minuten, Sekunden Groß Original