Dreiecke

Bezeichnungen

Ein Dreieck hat drei Eckpunkte (A, B, C), drei Seiten (a, b, c) und drei Winkel (α, β, γ).

• Die Eckpunkte werden gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.
• Die Seite a liegt dem Eckpunkt A gegenüber, b gegenüber von B, c gegenüber von C.
• Der Winkel α liegt beim Eckpunkt A, β bei B, γ bei C.

Seiten – die Dreiecksungleichung

Ist a + b = c oder a + b < c, so lässt sich kein Dreieck zeichnen.

Winkel

• Innenwinkel: α, β, γ
• Außenwinkel: α₁, β₁, γ₁ – sie entstehen, wenn man eine Seite über den Eckpunkt hinaus verlängert.
• Ein Außenwinkel und der zugehörige Innenwinkel ergänzen einander auf 180° (sie sind supplementär): α + α₁ = 180°

Einteilung nach den Seiten

Einteilung nach den Winkeln

Kombiniert ergeben sich diese Möglichkeiten:

Konstruktion von Dreiecken

Für die Konstruktion braucht man drei Bestimmungsstücke, darunter mindestens eine Seite. Zeichne immer zuerst eine Skizze und markiere die gegebenen Stücke farbig.

Kongruent heißt: Die Dreiecke sind deckungsgleich – sie lassen sich genau übereinanderlegen.

Merkwürdige Punkte im Dreieck

Im Dreieck gibt es besondere („merkwürdige“) Punkte: den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt.

Umkreismittelpunkt U

Der Radius des Umkreises ist der Abstand vom Umkreismittelpunkt zu einem Eckpunkt des Dreiecks – der Umkreis geht also durch alle drei Eckpunkte.

• Stumpfwinkliges Dreieck: U liegt außerhalb des Dreiecks.
• Gleichschenkliges Dreieck: U liegt auf der Symmetrieachse.
• Rechtwinkliges Dreieck: U ist der Mittelpunkt der Hypotenuse c.

Inkreismittelpunkt I

Der Radius ρ des Inkreises ist der Normalabstand vom Inkreismittelpunkt zu einer Seite des Dreiecks – der Inkreis berührt alle drei Seiten.

Schwerpunkt S

Die Verbindungslinie vom Mittelpunkt einer Seite zum gegenüberliegenden Eckpunkt heißt Schwerlinie (s_a, s_b, s_c).

Gleichschenkliges Dreieck

• Es hat zwei gleich lange Seiten, die Schenkel (a = b).
• Die dritte Seite heißt Basis (c).
• Der der Basis gegenüberliegende Punkt heißt Scheitel (C), der Winkel dort Scheitelwinkel (γ).
• Die Basiswinkel sind gleich groß: α = β
• Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Symmetrieachse.

Gleichseitiges Dreieck

• Alle drei Seiten sind gleich lang: a = b = c
• Alle drei Winkel sind gleich groß: α = β = γ = 60°
• Es hat drei Symmetrieachsen; jede ist zugleich Winkelsymmetrale und Seitensymmetrale.
• Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt fallen in einem Punkt zusammen.

Rechtwinkliges Dreieck

• Ein Winkel beträgt 90° (meist γ beim Eckpunkt C).
• Die längste Seite heißt Hypotenuse (c); sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
• Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten (a und b).
• Die beiden anderen Winkel ergänzen einander auf 90° (sie sind komplementär): α + β = 90°

Satz von Thales

Liegt der Punkt C auf dem Halbkreis über der Strecke AB (Mittelpunkt M), so ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig.

Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks

Eine Diagonale teilt ein Rechteck in zwei gleich große (kongruente) rechtwinklige Dreiecke. Die Katheten entsprechen der Länge und Breite des Rechtecks.

A_Rechteck = 2 · A_Dreieck, also