Rechnen mit Bruchtermen

M8 ArithmetikTheorie · 12 Blätter

Kürzen von Bruchtermen

Merke

Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch denselben Wert dividiert: ZN = Z : kN : k (mit k ≠ 0)

Zerlege zuerst den Zähler bzw. den Nenner in Faktoren! Kürzen darf man nur Faktoren.

Beispiel 1: 4ab + 6b²6b² = 2b(2a + 3b)2 · 3 · b · b = 2a + 3b3b

Beispiel 2: 12c³d + 6c²d²4c² − d² = 6c²d(2c + d)(2c + d)(2c − d) = 6c²d2c − d

Erweitern von Bruchtermen

Merke

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben Wert multipliziert: ZN = Z · kN · k (mit k ≠ 0)

Den kleinsten gemeinsamen Nenner erhält man durch Erweitern.

Beispiel: 3a4b und b12a sollen auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.

Nenner	in Faktoren	Erweitern mit
4b	2 · 2 · b	3a
12a	2 · 2 · 3 · a	b
gemeinsamer Nenner	2 · 2 · 3 · a · b = 12ab

3a4b = 3a · 3a4b · 3a = 9a²12ab; b12a = b · b12a · b = b²12ab

Hinweis: Zerlege die Nenner in Faktoren – gemeinsame Faktoren werden beim gemeinsamen Nenner nur einmal angeschrieben!

Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Bruchterme

Merke

Gleichnamige Bruchterme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der Nenner bleibt unverändert.

Beispiel: aa − 2 + 2ba − 2 = a + 2ba − 2

Bedingung: Der Nenner darf nicht den Wert null annehmen (die Division durch null ist nicht durchführbar!): a − 2 ≠ 0, also a ≠ 2

Probe mit a = 4; b = 3:

Angabe: 44 − 2 + 2 · 34 − 2 = 42 + 62 = 102 = 5
Ergebnis: 4 + 2 · 34 − 2 = 4 + 62 = 102 = 5 ✓

Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Bruchterme

Merke

Beim Addieren wie auch beim Subtrahieren ungleichnamiger Bruchterme muss zuerst ein gemeinsamer Nenner, der nicht den Wert null annehmen darf, ermittelt werden.

Beispiel: a − 1a + 1 − aa² + a

Nenner	Erweitern mit
(a + 1)	a
a² + a = a(a + 1)	–
gemeinsamer Nenner: a(a + 1)

Bedingung: a ≠ 0; a + 1 ≠ 0, also a ≠ −1

a − 1a + 1 − aa² + a = (a − 1) · a − aa(a + 1) = a² − a − aa(a + 1) = a² − 2aa(a + 1) = a(a − 2)a(a + 1) = a − 2a + 1

Probe mit a = 2:

Angabe: 2 − 12 + 1 − 22² + 2 = 13 − 26 = 0
Ergebnis: 2 − 22 + 1 = 03 = 0 ✓

Dividieren von Bruchtermen

Merke

Der erste Bruchterm wird mit dem Kehrwert des zweiten Bruchterms multipliziert.

Beispiel: a² − 4b²4a + 2b : a + 2b2a + b = (a + 2b)(a − 2b)2(2a + b) · 2a + ba + 2b = a − 2b2

Bedingungen: Die Nenner dürfen nicht den Wert null annehmen!

4a + 2b ≠ 0, also a ≠ −b2
2a + b ≠ 0, also a ≠ −b2
a + 2b ≠ 0 (der Kehrwert hat diesen Nenner), also a ≠ −2b

Probe mit a = 3; b = 2:

Angabe: 3² − 4 · 2²4 · 3 + 2 · 2 : 3 + 2 · 22 · 3 + 2 = −716 : 78 = −716 · 87 = −12
Ergebnis: 3 − 2 · 22 = −12 = −12 ✓

Doppelbrüche

Ein Doppelbruch ist eine Division zweier Bruchterme.

Beispiel: a³x − 2ax² − 4 = a³x − 2 : ax² − 4 = a³x − 2 · x² − 4a = a³x − 2 · (x + 2)(x − 2)a = a²(x + 2)

Beachte!

Kürze nur Faktoren!
Die Nenner der Brüche und der des Doppelbruchs dürfen nicht den Wert null annehmen: x ≠ 2; x ≠ −2; a ≠ 0

Probe mit a = 2; x = 5:

Angabe: 2³5 − 2 : 25² − 4 = 83 : 221 = 83 · 212 = 4 · 7 = 28
Ergebnis: 2² · (5 + 2) = 4 · 7 = 28 ✓

Rechnen mit Bruchtermen, Blatt 1: Kürzen von Bruchtermen — Blatt 1 von 12 Theorie Kürzen von Bruchtermen Groß Original

Rechnen mit Bruchtermen, Blatt 2: Ü-A4 Bruchterme kürzen — Blatt 2 von 12 Übung Ü-A4 Bruchterme kürzen Groß Original

Rechnen mit Bruchtermen, Blatt 3: Erweitern von Bruchtermen — Blatt 3 von 12 Theorie Erweitern von Bruchtermen Groß Original

Rechnen mit Bruchtermen, Blatt 4: Ü-A5 Auf gemeinsamen Nenner erweitern — Blatt 4 von 12 Übung Ü-A5 Auf gemeinsamen Nenner erweitern Groß Original

Rechnen mit Bruchtermen, Blatt 5: Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Bruchterme — Blatt 5 von 12 Theorie Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Bruchterme Groß Original