Ungleichungen
Ungleichungen und Grundmenge
Die Lösungsmenge einer Ungleichung ist von der Grundmenge G abhängig.
Beispiel: a < 4
| Grundmenge | Lösungsmenge |
|---|---|
| G = ℕ | L = { 0, 1, 2, 3 } |
| G = ℤ | L = { … −1, 0, 1, 2, 3 } |
| G = ℤ⁻ | L = { … −4, −3, −2, −1 } |
| G = ℝ | L = { a ∈ ℝ, a < 4 } – alle reellen Zahlen kleiner als 4 |
Bei ℕ, ℤ und ℤ⁻ werden auf der Zahlengeraden einzelne Punkte markiert, bei ℝ ein ganzer Bereich (die Zahl 4 selbst gehört nicht dazu).
Umformen von Ungleichungen
Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn …
… zu beiden Seiten derselbe Wert addiert wird:
x − 2 < 5 | + 2
x < 7 – Lösungsmenge für G = ℕ: L = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
… von beiden Seiten derselbe Wert subtrahiert wird:
x + 5 ≥ 7 | − 5
x ≥ 2 – Lösungsmenge für G = ℝ: L = { x ∈ ℝ, x ≥ 2 }
… beide Seiten mit demselben positiven Wert multipliziert werden:
x : 4 ≤ 2 | · 4
x ≤ 8 – Lösungsmenge für G = ℤ⁻: L = { … −4, −3, −2, −1 }
… beide Seiten durch denselben positiven Wert dividiert werden:
x · 2 > −6 | : 2
x > −3 – Lösungsmenge für G = ℝ: L = { x ∈ ℝ, x > −3 }
Multiplizieren und Dividieren mit negativen Zahlen
Multipliziert man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um!
−x < 2 | · (−1)
x > −2 (G = ℝ)
Dividiert man eine Ungleichung durch eine negative Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um!
−2x ≤ −4 | : (−2)
x ≥ 2 (G = ℝ)
Vertauschen der Seiten
Beim Vertauschen der Seiten muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden!
x > 2 ist gleichbedeutend mit 2 < x
